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Erfahren Sie alles über die Bedeutung des Achtecks

Das Achteck ist ein Polygon beziehungsweise Vieleck, das durch acht Ecken und acht Seiten gekennzeichnet ist. Es ist auch unter dem Namen Oktagon bekannt und spielt vor allem in der Architektur eine große Rolle.

Die Arten von Achtecken
Außer Dreiecke können alle Polygone und somit auch Achtecke in konvexe, konkave und überschlagene Achtecke unterteilt werden. Das regelmäßige Achteck, dessen Bedeutung in der Mathematik am größten ist, gehört zu den konvexen Achtecken.

Größen eines regelmäßigen Achtecks
Alle Seitenlängen a sind in einem regelmäßigen Achteck gleich groß. In einem regelmäßigen Achteck betragen alle Zentriwinkel 45 Grad. Der Zentriwinkel ist jener Winkel, dessen Scheitel im Mittelpunkt des Achtecks liegt und dessen Schenkel je einen Eckpunkt des Achtecks schneiden. Alle Innenwinkel haben eine Größe von 135 Grad. Ein Innenwinkel im Achteck ist der Winkel, dessen Scheitel auf einem Eckpunkt des Achtecks liegt und dessen Schenkel zwei Seiten des Achtecks bilden. Wenn die Seite a gegeben ist, können verschiedene Berechnungen am Achteck durchgeführt werden. Dann ist es zum Beispiel möglich, daraus den Flächeninhalt A, den Umfang U, den Radius R des Umkreises und den Radius r des Inkreises zu bestimmen.

Berechnung von Umfang U und Flächeninhalt A
Der Umfang U ergibt sich aus der Länge einer Seite, die mit acht multipliziert wird. Um den Flächeninhalt zu berechnen, wird zunächst die Summe aus Eins und der Wurzel aus Zwei gebildet. Das Ergebnis wird schließlich dem Zweifachen der quadrierten Seitenlänge multipliziert.

Die Diagonalen in einem Achteck
In einem Achteck gibt es vier Diagonalen, welche die gegenüberliegenden Eckpunkte miteinander verbinden und sich in dem Mittelpunkt des regelmäßigen Achtecks schneiden. Diese Diagonalen sind gleich lang und dienen als Winkelhalbierende und Symmetrieachsen. Durch sie wird das Achteck in acht gleich große Dreiecke geteilt, die allesamt gleichschenklig sind.

Inkreis und Umkreis im regelmäßigen Achteck
Jedes regelmäßige Achteck besitzt einen Inkreis. Der Mittelpunkt dieses Inkreises liegt genau im Schnittpunkt der Diagonalen. Als Inkreis-Radius wird die kürzeste Verbindung zwischen dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Mittelpunkt einer Achteckseite verwendet. Ebenso kann für jedes regelmäßige Achteck ein Umkreis konstruiert werden. Auch in diesem Fall liegt der Umkreismittelpunkt im Schnittpunkt der Diagonalen. Als Umkreis-Radius wird die kürzeste Verbindung zwischen dem Mittelpunkt des Umkreises und einem beliebigen Eckpunkt des regelmäßigen Achtecks gewählt.

Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein regelmäßiges Achteck zu konstruieren. Ist zum Beispiel lediglich die Seitenlänge a des regelmäßigen Achtecks gegeben, dann wird ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck konstruiert, dessen Hypotenuse eine Seitenlänge des Achtecks bildet. Anhand dieses Dreiecks wird dann ein Quadrat konstruiert, das zum regelmäßigen Achteck führt.

Bedeutung des regelmäßigen Achtecks für die Mathematik
Wissenschaftler gehen davon aus, dass das Achteck wesentlich zur Aufstellung weiterer mathematischer Formeln beigetragen hat. So wird zum Beispiel angenommen, dass die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des Kreises auf dem regelmäßigen Achteck basiert. Denn in ein Quadrat kann ein Achteck einbeschrieben werden, welches näherungsweise den Flächeninhalt eines Kreises darstellt. Dieses sogenannte Quadrat-Achteck ist zum Beispiel im Papyrus Rhind zu finden. Somit ist davon auszugehen, dass das Achteck ein wesentlicher Einflussfaktor für viele Berechnungen am Kreis und später auch für die Ermittlung von Größen in Körpern wie dem Zylinder war.
Die Bedeutung des Achtecks im christlichen Glauben
Seit der Antike hat das Achteck auch eine symbolische Bedeutung, was nicht zuletzt an der Acht als Zahl liegt, denn generell steht die Acht aufgrund ihrer Optik für Vollkommenheit. Die Bedeutung des Achtecks geht auch auf das Urbild eines achtstrahligen Sterns zurück. Der Stern steht ebenfalls für Vollkommenheit, sodass dem Achteck dieselbe Bedeutung nachgesagt wurde. Besonders beliebt war das Achteck daher schon früher in Kirchen wegen der symbolischen Bedeutung, die im Christentum auch für Jesus Auferstehung und göttliche Perfektion steht. Aus diesem Grund gibt es viele Baptisterien und Taufbecken, die eine Achteckform aufweisen.

Die Bedeutung des Achtecks in der Architektur
Schon sehr früh entstanden Gebäude, deren Grundriss der eines Achtecks ist. Ein Beispiel ist der Turm der Winde in Athen. In diesem Fall diente das Achteck vordergründlich dazu, die acht Winde zur veranschaulichen. Dennoch folgten im Anschluss viele weitere achteckige Gebäude, besonders im sakralen Gebiet. So wählte Karl der Große im Achten Jahrhundert ebenfalls einen achteckigen Grundriss für die Aachener Pfalzkapelle. Diese diente später als Vorbild zahlreicher weiterer Kirchen des Heiligen Römischen Reichs, wie zum Beispiel der Abteikirche Ottmarsheim oder der Mettlacher Grabkirche. Zudem finden sich Oktagone auch in Turmgeschossen, besonders bei Kaiserdomen. So war zum Beispiel auch die Reichskrone des Heiligen Römischen Reichs durch eine achteckige Form gekennzeichnet. Ebenfalls besteht der Aachener Barbarossa Leuchter aus acht Ecken und verdeutlicht das himmlische Jerusalem. In den USA erfreute sich das Oktagon noch einmal in der Mitte des 19. Jahrhunderts kurzzeitig in der bürgerlichen Architektur einer großen Beliebtheit.

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